附錄四、水車理論與試算

水車理論與試算分析

以下是筒車的力學基本理論、求解的步驟說明及北投新圳抽水站附近資料試算成果的檢討。

一、筒車力學基本理論

筒車(以下說明採用水車一詞代替之)是利用水流的動力推動水車輪軸旋轉將低水高送的一種裝置。由功能來看和抽水機的效果很類似，只是抽水機內部有一個葉扇轉輪(有固定角速度)負責將進來的水由外轉輪旋轉到內轉輪，使流速降低，將動能轉換成壓力能，讓水在高處接觸大氣壓力處流出(此處抽水機的葉輪的轉動角速度由電力提供)，而水車的角速度則由作用水車的水衝擊力來產生，因此可以用抽水機的動力守恆觀念來算出水流推轉淨力距所造成的角速度，這之間需要納入一些體積效率、機械效率、水力效率等影響水車送水動力(功率)效率的因子以符實際狀況。另外，由水作用於水車水平方向的水筒離心力平衡方程式也可以求解角速度。

1. 流量連續方程式：

筒車示意如圖1所示，是渠道流入流量，是渠道流出流量，為流入的水在水車底部被取走的流量，而至水車上端流出，其出口實際流量為，根據流體機械抽水機的體積效率定義，體積效率 = ，所以得到 = ，即為流量取水後到流出過程的體積效率。因此水車設置處的流量連續關係可由下式表示：

------------------------------------------------------------(1)

在渠道中已知流量、渠道坡度及圳路的材質(即糙度係數)，則可以由曼寧公式利用試誤法估算出水深及流速，在矩形渠道流入流量處，試誤法的起始水深可以用表示，將之代入曼寧公式的水深轉換疊代式可求另一個，理論上與相同時則得到真解，但求解時通常給一個誤差容忍值tol，就可算得真正的水深值，因此：

---------------------------------------------------------------(2)

其中，是渠道曼寧糙度係數，B是渠道寬度，是圳路渠道坡度(假設流入與流出處相同)。以下依上述理論做數值求解，即當求得後，立即作容忍度(tol)的比較，當│ - │/ <tol，則流入流量處的水深 (簡單的疊代求解方法)，否則再代回(2)式重新計算，直到收斂或大於設定的最大計算次數為止，則可求得。將結果代入回曼寧公式求流入處的流速如下：

----------------------------------------------------(3)

然而一樣也可以用曼寧公式建立：

----------------------------------------------------(4)

其中，是流出流量的水力半徑。

2. 水車下方水體的水平方向力平衡方程式：

水流對水車的作用力由流進、流出及轉動取走的動量差異及兩側靜水壓力的合力形成，方程式表示如下：(按：以水平方向力平衡做分析，水體自重在水平方向為0)

-------------------------------(5)

其中，為水車受水作用的水平方向反力，為渠道流出流量處的水深，為渠道流出流量處的流速，為水車將水低水高送的轉動流速，為水車右半圈旋轉流路虛擬的水深，為水的單位重量，為水的比重。由水車底部將水送到頂端過程，水從裝在水筒內、在水筒內振盪及流出水筒的過程動力有摩擦損失，這種情況類似流體機械抽水機的機械效率定義，因此揚程需考慮此係數，即 = ，其中L為水車被水流推動旋轉的軸轉換動力，而則是實際施加於水的動力，這種效率問題會反應在扭轉功率上面，而不在此處的力平衡上。

3. 水筒離心力平衡關係式：

推動水車轉動的力與流體作用於水筒外緣的抗離心力達成平衡而進行等速運動旋轉的關係在單一水筒內個別分析，然後在右半圈做力平衡的加總(控制體積為水筒本身)，其方程式表示如下：

--------------------------------------------------(6)

其中，C為動量損失係數，為圖中水車右側水筒每一筒的實際裝水體積(也可能沒裝滿水)，m表示水車內水筒的數量，設計時應考慮對稱性平衡，可設計8、16或是32個筒。

4. 右半圈控制體積上的質量守恆關係式：

右半圈水筒裝水轉半圈後的實際流出體積應等於右半圈虛擬流路流動相同時間所流出的體積，在流速相同下，右半圈水筒裝水體積等於右半圈虛擬流路中水的體積，化簡後得到下式：

----------------------------------------------------------------------------(7)

其中，為虛擬流路的通水斷面積，。

5. 水車揚程能量守恆關係方程式：

揚程H為水車受水推力，在軸承處產生的動力，轉換成對取水筒的水做功上送的進出能量的差異值，此處需考慮壓力差、自由液面水面水頭差、流速水頭差及摩擦水頭等項，當摩擦水頭忽略時，方程式經整理簡化如下：

--------------------------------------------------------------------------(8)

6. 軸承力距平衡方程式：

水對水車的作用力在軸承處可產生旋轉淨力距，促使水車做逆時針的定速轉動。此時淨力距帶動水車旋轉時，推力力距要克服的是水車自重加所載水重在轉軸的動摩擦阻抗及所載水重因重力影響所增加的抵抗力距，方程式表示如下：

-------------------------------------------------------------(9)

其中，為軸承動摩擦係數，為水車自重，為水車直徑，為軸承直徑，T為水流帶動水車旋轉承軸處的扭(淨)力距，為重力加速度。

7. 角動量(軸功率)平衡方程式：

流體機械離心抽水機的總效率定義為，其中三個分量的定義請參考第1、2及11項。另外，總揚程H，出流量，水車輪軸作用於水筒水的動力稱為水功率 = ，水流推動旋轉而作用於水筒水的扭距T與理論軸動力的關係為，為水車旋轉角速度( )，t是時間(sec)，圓周切線轉速則為，根據離心抽水機的定義，，為滑動係數(<1)，因此由上述關係式推得： =L(主軸傳動到圓周的軸動力即功率)= ，將(8)式代入整理並化簡變為：

-------------------------(10)

8. 水車轉速與水車旋轉取水流速的關係式：

_{--------------------------------------------------------------------} (11)

其中，為水車轉速(轉/秒， )，為3.1415926…。

9. 水車能夠被推動及做定速轉動的條件：

水車是否能被進入之水流推動，這個條件應該先被檢查，再進行是否定速轉動的檢查，藉此可以了解增加多少流量比例的時候才能從被推動變為轉動。

(1). 水車被推動條件：

當每一個筒都沒有裝水，且也沒有轉動時，即 =0及 =0時，則水的推動力距只要符合下式即可使水車開始裝水運動，此時要克服的是水車自重產生的靜摩擦力距。因此(9)式簡化可以得到推動條件如下：

--------------------------------------------------(12)

其中，為轉軸靜摩擦係數，理論上 > ，其中依經驗可以先用0.95 代入計算。

(2). 水車轉動條件：

水車被推動後某些水筒也裝了水，增加了可抵抗原有的推動力距，當推動力距不足再讓右側未裝水的水筒裝水時，它會轉到某一個位置達到平衡，或者形成動態平衡(回轉搖擺)，不再繼續轉動，即水車一會兒逆時針旋轉；一會兒順時針旋轉。如果推動力距大到克服右側水筒均裝水時的重力力距及自重靜摩擦力，則可形成轉動平衡，即水的推動力距可以推水車沿我們圖上定義的逆時針方向轉動，而不會回轉搖擺。促成轉動後使軸承的靜摩擦力轉為較小的動摩擦力，可以多出支持水車本身固定速度轉動的淨力距。因此(9)式簡化可以得到轉動條件(這個時候不等於0，而等於0，即圖中所有右方水筒均裝水而停止旋轉時運動的臨界條件)如下：

_{--------------------------------------------------} (13)

10. 水筒長度、厚度設計的限制條件：

水筒的形狀目前假設為矩形柱體來分析，其寬度假設與渠道寬度相同，假如為筒的設計取水截面積，筒的設計容積為，設計的長度則為，在長度的限制上為：

--------------------------------------------------(14)

設計筒的厚度為 =( /B)，如果流入水深小於，則筒裝水的體積為 B ，而不是；如果流入水深大於或等於，則筒裝水的體積為，越接近越好，太大或太小對水車基座負荷及視覺景觀可能都有負面效果。

11. 筒內水能否順利流出的設計控制條件：

理論上，圓周上水的流出是因為水體失去了對抗離心的拉力支撐作用，而沿著慣性的切線方向以當時的速度射出，又受到重力作用而有拋物線的水舌產生。此時水相對於水車旋轉的速度為正，才能順利使水流出來到入接水的管線中。所以如果考慮水運送倒頂端後，在走了兩筒間的距離後，要容易沿著切線掉出到設置的接水管線，則需了解水在筒中的自由流動情形。走了n格(即從頂端筒到圖示左側鄰近第n筒的外圈距離)的時間為，掉下來垂直距離為，水平距離為，因此筒內水流平均斜率為：

_{--------------------------------------------------------} (15)

因此筒內流出的真實平均速度為：

----------------------------(16)

其中， = 為筒內流動的水力半徑，為筒內的曼寧糙度係數，如果小於0表示水流在設計接水處的上方流不出來。

流出長度 = = ，以時間來看，水從筒內流出的時間必須小於轉n格的時間，即需滿足下式才符合假設條件：

--------------------------------------------------(17)

另外，因為流出後水筒水沿著切線飛出，所以水筒中水量全部流出走過的外圈距離應該在一格之內，由此可知，所設計的低水高送落差F=D- 。

根據流體機械離心抽水機的水力效率定義，實際揚程H與理論揚程的差異在於送水過程水的流動、衝擊、方向改變造成的摩擦損失，因此，而此處所謂的設計落差F如視為理論揚程則實際低水高送的落差。

12. 水車基座結構承受力的設計條件：

筒內裝的水對水車軸承有離心拉力，但對軸中心並沒有產生力距效果，僅對水車基座有力距效果。水筒裝水後理論上在垂直方向離心力合力為0，在水平方向則合力不為0，軸承承受的拉力和基座承受的抗滑力應該相等，同為，若不在基座做抵抗傾倒的抗傾結構物，則圖中基座右側的土壤或結構物受力距擠壓呈現不均勻受壓力狀態，而在左側的土壤或結構物則呈現不均勻的受拉力的情況(右側邊緣壓力最大，左側邊緣張力最大)，基礎受力不均勻是筒式水車基礎設計要注意的地方，因此基座的抵抗力距設計也是一個難題，它與轉動的速度有著平方關係，平均分攤受壓及張力為基礎設計要考慮的重點。另外，基礎受壓除了由水筒水的離心力距(其承受力距為 )產生外，也由自重均勻分配在上面，推估基礎承載力需要兩者均考慮。基座的承載力設計原則可以利用這個圳路設置水車處的平均進入流量來設計其應有的抵抗力距，這樣水車上下游基座處的土壤或結構物才能輪流承受壓力及張力，不致全年受水筒水的離心力距產生的張力或壓力都集中在一側的現象。

13. 水車尺寸決定後的取水流量分析：

當水車尺寸決定後，我們仍要分析不同進入流量時的可取水流量、推動及轉動的臨界流量等，我們輸入一個進入流量，就可以得知水車是否被推動或轉動，如果可以轉動則可以算出一個取水流量，因此假設了在圳路進入的最低與最高需求流量間的數組資料進行演算以求得相對應的數組取水流量，如此我們就知道水車取水的特性，當流入量的觀測資料知道後就可以得知低水高送的流量，如此搭配抽水操作就有一定的規則可尋。假如轉動的臨界流量小於圳路最小需求流量，在圳路未斷水時都能讓水車轉動，依照圳路的最大(5.016CMS)及最小(0.1076CMS)需求流量，可分別求出對應的及。假如大於0.00536CMS且大於0.2 CMS，則水車可以完全取代抽水機操作，否則應有搭配操作的規則提供管理人員參考。這部分需要撰寫程式並針對抽水站這個特定地點(根據測量資料，兩支圳渠底最大高程137.9m，北投新圳渠底高程約135.5m，因此水頭落差F設計為2.4公尺)進一步分析才能獲致可能的結果。

14. 決定力學分析中相關參數的方法：

對於水車設計而言，仍有某些效率係數需要實驗數據來決定，假如水車相關設施及圳路本身的材料參數已知(例如圳路曼寧糙度係數、水筒內面糙度係數、承軸靜摩擦及動摩擦係數等)，仍有一些效率係數待求。我們可以從方程式了解需要量測的資料有哪些，就而言，需要量測的資料包括：，，；而則需要推估相關的摩擦損失水頭；則由計算換算求得；則可由前述所得資料計算得到。然而目前仍沒有找到製作水車的廠商及願意配合試驗的廠商進行參數的檢定，則理論及計算結果仍然僅能提供概念參考，可能不能真正拿來落實使用。

15. 其他配合的工程措施：

水車與抽水機相同需要處理防止雜物入內的設備，類似設置攔污柵、沉砂池等工程措施有其必要，以防止水車被雜物卡住不能轉動或者損壞的情況發生。

二、水車理論求解步驟及假設

1. 給定進入水流量、圳路尺寸及參數：

給定，，，B。

2. 給定各式的效率及滑動係數：

給定，，，，C，n。

3. 給定水車的各項尺寸及參數：

給定D(實際需求落差的條件決定，此處在抽水站附近的 =2.4m)，D/d，，，， (可以推估)， (用體積及材質推估)，m，，，，材質密度、外圈寬度、輻射支撐寬度及材質厚度的縮放比例等。

水車自重設計簡易計算：假設不銹鋼板厚度為 mm(預設為2 mm)，m支鋼板面積預設為平方公尺，外圈面積預設為平方公尺，水筒面積為平方公尺，檔板面積 (接受水流衝擊用)，總和面積為上四項的合A，所以水車自重質量為公斤，其中為水車材質預設密度。

4. 檢查水車的各項尺寸的合理性：

檢查(14)式是否符合，不符則調大，或調小，m以不變為原則(以16或32較佳)。

以小於或等於明渠最大需求流入量的水深為設計原則。如果水筒裝水厚度太大則影響水車的基本構造及美觀，並且需考慮加強水筒的承載能力。因此檢查以下式子是否滿足，不滿足則需同時調整及。

--------------------------------------------------(18)

5. 檢查水車能否被推動或轉動：

檢查(12)及(13)式是否滿足，不滿足(12)式則水車無法被推動；而不滿足(13)式時則水車無法定速轉動，在不滿足階段需要輸出是不能推動或能推動而不能轉動的訊息，以提供爾後操作規劃參考的依據。

6. 求解及：(兩種方法求算)

(1). 以(6)式求解：

將(1)及(7)式代入(6)式，即將以；以；以代入(6)式，可以得到一個的方程式如下：

-----------------------------------(19)

其中，，， [如(4)式]，，由上式可知方程式僅有未知數，由牛頓—瑞福森法或牛頓修正法求解之，則則由曼寧公式求得， = 也可得到。

(2). 以(9)式求解：

將(1)、(5)及(10)式代入(9)式，也可以得到一個的方程式如下：

--------------------------(20)

同樣用牛頓—瑞福森法或牛頓修正法求解。

7. 求解及：

利用第6步驟的計算結果代入(1)式求解，即

-----------------------------------------(21)

再代入(7)式求解，則可求得如下：

-------------------------------------------(22)

並由(11)式計算，如下式：

(23)

8. 計算轉動力距及效率係數：

將上面求得成果代入附(2-9)式求解T (Nt‧m，逆時針方向)，再代入(10)式求得，(1)法調整C或者(2)法調整讓計算所得的結果相同，則可知C與的關係式。

9. 檢驗其他條件：

檢查(17)式，如果滿足則低水高送承接水流的設計成功，假如不滿足則水在左邊第一個筒位置以下掉出，則無法滿足設計的落差需求，算是失敗的解。因此也有可能在高流量時雖然送了很大的流量，但是並沒有在承接管線上方落下，而造成送水失敗的情形。因此水車應該有一個可送流量的最大及最小值，如果我們先用圳路最大需求流量求解成功的話，則不用擔心在更高流量時會有接不到水的困難。

10. 搭配抽水機運轉之成果：

再以成功的設計尺寸試跑其他較低的流量，並找出推動及轉動的臨界流量，即可列表提供搭配抽水機運轉的參考。

三、北投新圳抽水站附近資料試算

根據南投農田水利會北投心圳每旬進水口灌溉需求流量顯示，取水口最大需求流量在二月中旬為5.546CMS，最小需求流量在六月中旬為0.119CMS，則抽水站附近最大需求流量為5.016CMS；最小需求流量為0.1076CMS，而可由比例關係換算支線的最大及最小需求流量，則第七支及山腳圳取水流量最大則為0.192CMS，取水最小流量為0.00412CMS。因此兩圳最大需求流量暫定為0.2 CMS。可以利用上述數據來推算所設計的水車對兩支圳最小、最大需求流量下的供水滿足程度及需要抽水機搭配操作的時機。以下為我們利用理論及數值方法求解試算例的說明及成果分析檢討。

1. 水車尺寸決定及參數設定：

在一般水車的美觀上，直徑與寬度比接近8較佳，如果直徑設計為四公尺的水車，則其寬度約設計在0.5公尺左右。在抽水站附近的北投新圳渠道寬度為2.25公尺，落差為2.4公尺時，假設有16個水筒， D為4公尺，水車寬度為0.5公尺時，則需設置四個同軸並聯的水車在渠道中，間距則取0.05公尺作為設施維護空間，因此渠道流量需分四個等分給每一個水車做推動及轉動的條件判斷，因而真正水車取水量為一個水車算的的四倍。就北投新圳抽水站附近，最大需求流量為5.016CMS，最小需求流量為0.1076CMS，所以每一部水車的分配流量，最大需求為1.254CMS，最小需求流量0.027CMS，此時公式中渠道水流進入寬度要改為水車設計寬度，在間距的水流進入處增設檔板將水流集中於水車的流道中。因此以設計有效率的輪軸採D/d為30，水筒厚度為0.15公尺，長度為0.15公尺，寬度為0.5公尺， =0.01125立方公尺，水車材料預設密度為8.9 。北投新圳坡度為0.001，圳路曼寧n值為0.02， =0.97， =0.87， =0.90， =0.94，C=0.387，轉下格數n=2， =0.2， =0.25，水筒內的曼寧n值為0.012，水車材料的密度乘積係數為0.5，外圈寬度乘積係數為0.5，輻射支撐寬度乘積係數為0.5，材料厚度乘積係數為1.0，疊代容忍誤差比例為tol=0.0001，疊代最大限制次數為100000，進入流量及疊代初始值為對應調整值，在計算收斂的情況下可以比較方法(1)及(2)的差異性。

2. 試算結果檢討：

水車取水量理論求解工具採用FORTRAN程式語言撰寫執行程式，第1項所述數據均安排在輸入檔內，隨時可以調整並計算可能的取水量結果。因求解方法採用牛頓法或牛頓修正法，理論上給定的初值如果合理，則會收斂到局部解，以方法(1)及(2)試解(利用及函數繪圖)發現均有多重根的現象，也就是說初值會影響結果的一致性。經過一些數值試驗結果顯示，我們應將初值比例設小一點才能解到合理的解。

假設初值比例設為0.80，以方法(1)來求解，疊代次數到13次收斂，得到 =0.330 CMS，流速為5.75 M/SEC。同樣的參數及尺寸資料用在方法(2)試算，在調整其效率參數使其解果與法(1)相同，疊代次數為47，參數值如上所述。在改變流量下，兩法結果列表比較如下：

	方法(1)			方法(2)
進入流量 (CMS)	取走流量 (CMS)	取走流速 (M/SEC)	可否轉動接水	取走流量 (CMS)	取走流速 (M/SEC)	可否轉動接水
2.016	0.189	3.29	不能轉動	無解	無解	無解
3.016	0.238	4.15	可	無解	無解	無解
4.016	0.285	4.96	可	無解	無解	無解
5.016	0.330	5.75	可	0.330	5.75	可
6.016	0.375	6.53	可	0.476	8.29	可
7.016	0.419	7.30	可	0.496	8.66	可
8.016	0.463	8.07	可	0.482	8.41	可
10.516	0.550	9.59	可	無解	無解	無解
12.016	0.636	11.10	上方接水失敗	無解	無解	無解

方法(1)顯示進入流量在2.016 CMS左右就無法轉動試算設計的水車，而當進入流量為12.016 CMS時則在上方接水的設計失敗，這符合我們當初的理論分析，進入流量的遞減造成取水量及取走流速的遞減，這也合乎常理，只不過這些效率係數都是參考離心抽水機的數據，對水車而言必定有一些不同的規範存在。方法(2)則在流入量為5至8 CMS有解，其他則因函數曲線均大於0，而無解產生。因此與法(1)有所差異，求解的合理性來看則可能法(1)的結果較可接受。雖本附錄有推導基本理論，但仍有許多問題待實驗來支持，如要落實使用，則仍需許多實驗數據去規範水車內相關的參數後才可以考慮使用之。我們從網路蒐集的筒車取水照片如圖2所示(年代久遠)，可見取水量非常少。而目前現代景觀水車大部分也使用馬達驅動，如在台南縣所照得的照片(圖3)可以看出取水後水舌拋出的景觀，它是反向動力的結果。

圖1 筒式水車力學機制示意圖

圖2 將近絕跡的舊式筒式水車。

圖3 台南縣閹雞城水車出水射流及環內水流狀況(逆時鐘轉動)